偏微分方程式の解の幾何学 2017年 03 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊

解析学や幾何学が好きな方ならば、魅力的な書名を持つ本書にどの様な内容が叙述されているか、非常に興味を持たれるのではなかろうか。この分野を勉強されたことがある方には、n次元ユークリッド空間Rnの領域で定義される偏微分方程式が特殊な性質を持つ解を許容する場合、その領域の形状に強い幾何学的な制約をもたらすこと（例えば、有界な領域Ωの境界∂Ωが連結で、そこで平均曲率が一定ならば、∂Ωは球面であるという「アレクサンドロフの定理」）、逆に領域の幾何学的な形状が偏微分方程式の解の性質に反映をされることがあること（例えば、Rnの球体Ω上の半線形楕円型境界値問題 Δu＋f(u) = 0、u = 0 (∂Ω上) の正値解uは回転対称性をもつという「Gidas-Ni-Nirenbergの定理」）、更にこの様な結果の証明に楕円型や放物型の方程式に対する「（弱／強）最大値原理」や「ホップの補題」が重要な役割を演じていること、などは良く知られている。本書はこの分野の基礎的な事柄から説き始めて、著者による最新の研究成果までを解説するとても面白いテキストである。本書は全8章からなる。最初の五つの章で、後半部への準備とも言える基礎的な事柄が解説されているが、「熱方程式の解の初期挙動が境界からの距離関数で記述される」という「ヴァラダンの定理」と「熱方程式で境界に接する球体の持つ熱量の初期挙動が境界の接点での主曲率に関係する」という「マニャニーニ-坂口の漸近公式」の解説が特徴的な所だろう。どちらの証明にも熱方程式に対する「弱最大値原理」が使われており、その有用性を実感できる所がとても良い。波動方程式の初期値問題の解を表示する「キルヒホッフの波動公式」（初期値φと時間微分初期値ψの球面平均が現れる有名な公式）の応用に言及する第5章も面白い。φとψの何れかが零の場合、「波動方程式の解をうまく積分変換すると、同一の初期条件を満たす熱方程式の解が得られる」という事実は興味深い。後半の三つの章は本書で最も面白い所だろう。第6章では「強最大値原理」や「ホップの補題」などの有用なツールの証明が与えられ、それらと「平面移動法」を用いて上述の「アレクサンドロフの定理」が証明されている。続く二つの章で、複合媒質上の導電場方程式あるいは熱拡散方程式が特徴的な解を持つ場合、媒質の境界面が同心球を形成するという素晴らしい結果が紹介されている。第7章では、同心球からなる複合媒体で「中性導体」が構成できるというHashin-Shtrikmanの結果が紹介され、逆に（かなり一般的な条件の下で）「中性導体を構成する複合媒体の境界は同心球をなす」という「カン-リー-坂口の定理」が解説されている。その証明ではラプラス作用素の過剰決定系に関する領域の優決定定理（WeinbergerやSerrinなどによる結果）の一般化に相当する結果に帰着することが示されており素晴らしい。第8章では、先ずRnの有界領域Ωにおける熱方程式の初期境界値問題で、Ωに含まれる有界領域Gで境界∂Gが不変等温面になるものが存在すれば、Ωは球になるという「マニャニーニ-坂口の定理」が示されている。その証明は、「ヴァラダンの定理」から∂Gが∂Ωと等距離であることが導かれ、「平面移動法」と熱方程式に対する「強最大値原理」及び「ホップの補題」を用いて「Gが球である」ことが示され、Ωが球であることが帰結されるという非常に興味深いものである。次に「複合媒体上の熱方程式の初期境界値問題で不変等温面を一つ持つものが存在すれば、媒体の境界面は同心球を形成する」という「坂口の定理」が証明されている。その証明では温度の「バランス法則」や「マニャニーニ-坂口の漸近公式」が巧みに利用されており、その素晴らしさに感動を覚える読者も多いと思う。Gilbarg-Trudingerの有名な教科書『Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (Classics in Mathematics)』や鈴木貴・上村友紀『偏微分方程式講義―半線形楕円型方程式入門』などを読まれた事がある経験者にとっても、最新の結果を解説する本書は面白く有益な書である。この分野に興味がある全ての方々にお薦めしたい。